Nhị thức Newton: công thức khai triển và ví dụ

Nhị thức Newton là công thức khai triển lũy thừa của một tổng hai số hạng, viết dưới dạng (a + b)ⁿ = Σ C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ với k chạy từ 0 đến n. Nhờ công thức này, bạn có thể viết ngay kết quả khai triển mà không cần nhân biểu thức nhiều lần. Đây là nội dung trọng tâm trong chương trình Đại số – Giải tích lớp 10, đồng thời là nền tảng cho tổ hợp, xác suất ở các lớp trên. Nội dung dưới đây giúp bạn nắm chắc công thức, số hạng tổng quát, tam giác Pascal, các tính chất quan trọng và một loạt ví dụ, bài tập có lời giải từng bước để luyện tập.

Nhị thức Newton là gì?

Nhị thức Newton (hay công thức nhị thức Newton) là công thức cho phép khai triển biểu thức (a + b)ⁿ thành tổng của nhiều số hạng, với n là số tự nhiên. Thay vì nhân (a + b) với chính nó n lần, bạn chỉ cần áp dụng công thức để viết ra toàn bộ các số hạng theo một quy luật cố định. Tên gọi này gắn với nhà toán học Isaac Newton, người đã tổng quát hóa công thức khai triển cho số mũ bất kỳ.

Công thức nhị thức Newton

Với hai số a, b và số tự nhiên n, công thức nhị thức Newton được viết như sau:

(a + b)ⁿ = C(n,0)·aⁿ + C(n,1)·aⁿ⁻¹·b + C(n,2)·aⁿ⁻²·b² + … + C(n,n)·bⁿ

Viết gọn bằng ký hiệu tổng: (a + b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Trong đó C(n, k) là số tổ hợp chập k của n, tính theo công thức C(n, k) = n! / [k!·(n − k)!], còn gọi là hệ số nhị thức. Khai triển luôn có đúng n + 1 số hạng: số mũ của a giảm dần từ n về 0, trong khi số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, tổng hai số mũ trong mỗi số hạng luôn bằng n.

Số hạng tổng quát

Số hạng tổng quát, hay số hạng thứ k + 1, trong khai triển (a + b)ⁿ được viết là:

T_k+1 = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ

Công thức số hạng tổng quát rất hữu ích khi đề bài chỉ yêu cầu tìm một số hạng cụ thể (ví dụ số hạng thứ 5) hoặc hệ số của một lũy thừa cho trước, mà không cần khai triển toàn bộ biểu thức. Bạn chỉ cần xác định đúng giá trị k tương ứng rồi thay vào công thức là ra kết quả.

Tam giác Pascal và các hệ số

Các hệ số C(n, k) trong khai triển nhị thức Newton có thể tra nhanh từ tam giác Pascal, trong đó mỗi số (trừ số 1 ở hai đầu mỗi hàng) bằng tổng hai số liền kề ở hàng ngay phía trên. Bảng dưới đây liệt kê các hệ số từ n = 0 đến n = 6:

Ví dụ, hàng n = 5 cho ngay các hệ số của khai triển (a + b)⁵ là 1, 5, 10, 10, 5, 1 mà không cần tính từng C(5, k) theo công thức giai thừa.

Tính chất của khai triển nhị thức Newton

Khai triển (a + b)ⁿ có một số tính chất quan trọng nên nhớ khi làm bài tập:

• Khai triển có đúng n + 1 số hạng, sắp xếp theo số mũ giảm dần của a và tăng dần của b.
• Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n.
• Các hệ số nhị thức đối xứng: C(n, k) = C(n, n − k), tương ứng với tính đối xứng của tam giác Pascal.
• Tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng 2ⁿ, có được khi cho a = b = 1.
• Nếu cho a = 1, b = −1, tổng các hệ số mang dấu đan xen bằng 0 với mọi n ≥ 1.

Ví dụ khai triển nhị thức Newton

Hai ví dụ dưới đây minh họa cách áp dụng công thức từng bước, từ việc xác định hệ số C(n, k) đến khi ra kết quả cuối cùng.

Ví dụ 1: Khai triển (x + 2)⁴

Áp dụng công thức với a = x, b = 2, n = 4, tính từng số hạng theo k từ 0 đến 4:

• k = 0: C(4,0)·x⁴·2⁰ = x⁴
• k = 1: C(4,1)·x³·2¹ = 4·x³·2 = 8x³
• k = 2: C(4,2)·x²·2² = 6·x²·4 = 24x²
• k = 3: C(4,3)·x¹·2³ = 4·x·8 = 32x
• k = 4: C(4,4)·x⁰·2⁴ = 16

Cộng lại: (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.

Ví dụ 2: Khai triển (x − 1)⁵

Với a = x, b = −1, n = 5, dấu của các số hạng đan xen do b mang dấu âm:

• k = 0: C(5,0)·x⁵ = x⁵
• k = 1: C(5,1)·x⁴·(−1) = −5x⁴
• k = 2: C(5,2)·x³·(−1)² = 10x³
• k = 3: C(5,3)·x²·(−1)³ = −10x²
• k = 4: C(5,4)·x·(−1)⁴ = 5x
• k = 5: C(5,5)·(−1)⁵ = −1

Kết quả: (x − 1)⁵ = x⁵ − 5x⁴ + 10x³ − 10x² + 5x − 1. Đây cũng chính là các hệ số ở hàng n = 5 của tam giác Pascal, chỉ khác nhau ở dấu đan xen.

Xem thêm: Công Thức Tính Quãng Đường: Cách Tính Toán Lớp 5 & Vật Lý Lớp 8

Bài tập vận dụng có lời giải

• Bài 1: Khai triển (x + 2)³. Lời giải: Với a = x, b = 2, n = 3: (x + 2)³ = C(3,0)x³ + C(3,1)x²·2 + C(3,2)x·2² + C(3,3)·2³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
• Bài 2: Tìm số hạng thứ 3 trong khai triển (a + b)⁵. Lời giải: Số hạng thứ 3 ứng với k + 1 = 3 nên k = 2: T₃ = C(5,2)·a³·b² = 10a³b².
• Bài 3: Khai triển (2x − 1)² và cho biết có bao nhiêu số hạng. Lời giải: n = 2 nên có n + 1 = 3 số hạng: (2x − 1)² = (2x)² − 2·2x·1 + 1² = 4x² − 4x + 1.
• Bài 4: Tính tổng các hệ số trong khai triển (x + 1)⁶. Lời giải: Cho x = 1, tổng hệ số bằng (1 + 1)⁶ = 2⁶ = 64.
• Bài 5: Tìm hệ số của x² trong khai triển (x − 3)⁵. Lời giải: Số hạng tổng quát T_k+1 = C(5,k)·x⁵⁻ᵏ·(−3)ᵏ. Cần 5 − k = 2 nên k = 3. Hệ số cần tìm là C(5,3)·(−3)³ = 10·(−27) = −270.

Cách tìm hệ số của một số hạng cụ thể

Một dạng bài thường gặp là tìm hệ số của số hạng chứa một lũy thừa cho trước mà không cần khai triển toàn bộ biểu thức. Cách thực hiện gồm hai bước:

• Viết số hạng tổng quát T_k+1 = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ.
• Cho số mũ của biến trong số hạng tổng quát bằng lũy thừa đề bài yêu cầu, giải ra k, rồi thay k vào để tính hệ số.

Ví dụ, để tìm hệ số của x³ trong khai triển (x + 2)⁵, số hạng tổng quát là C(5, k)·x⁵⁻ᵏ·2ᵏ. Từ 5 − k = 3 suy ra k = 2. Hệ số cần tìm là C(5, 2)·2² = 10 × 4 = 40.

Ứng dụng của nhị thức Newton

Nhị thức Newton không chỉ dùng để khai triển lũy thừa mà còn là công cụ nền tảng trong nhiều dạng toán khác. Công thức giúp khai triển nhanh các biểu thức bậc cao, tính giá trị gần đúng, chứng minh các đẳng thức tổ hợp và giải các bài toán đếm, xác suất. Đây là kiến thức dùng xuyên suốt từ phổ thông đến đại học, đặc biệt ở chuyên đề tổ hợp – xác suất.

Xem thêm: Phương trình lượng giác cơ bản: công thức nghiệm và ví dụ

Câu hỏi thường gặp về nhị thức Newton

Nhị thức Newton là gì?

Là công thức khai triển (a + b)ⁿ thành tổng các số hạng dạng C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, với k chạy từ 0 đến n.

Khai triển (a + b)ⁿ có bao nhiêu số hạng?

Có đúng n + 1 số hạng.

Số hạng tổng quát của nhị thức Newton là gì?

Là T_k+1 = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, dùng để tìm nhanh một số hạng hoặc hệ số bất kỳ mà không cần khai triển toàn bộ.

Tam giác Pascal dùng để làm gì?

Dùng để tra nhanh các hệ số nhị thức C(n, k) mà không cần tính giai thừa từng bước.

Tổng các hệ số trong khai triển (a + b)ⁿ bằng bao nhiêu?

Bằng 2ⁿ, có được khi thay a = b = 1 vào khai triển.

Công thức tính C(n, k) như thế nào?

C(n, k) = n! / [k!·(n − k)!], trong đó n! là tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n.

Làm sao để tìm hệ số của một số hạng chứa xᵐ trong khai triển?

Viết số hạng tổng quát, cho số mũ của x bằng m để tìm k, rồi thay k vào công thức để tính hệ số tương ứng.

Kết luận

Tóm lại, nhị thức Newton khai triển (a + b)ⁿ theo công thức (a + b)ⁿ = Σ C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, luôn gồm n + 1 số hạng với các hệ số lấy từ tam giác Pascal. Nắm vững số hạng tổng quát T_k+1 sẽ giúp bạn xử lý nhanh các dạng bài tìm số hạng hoặc hệ số mà không cần khai triển toàn bộ biểu thức. Để luyện thêm, mời bạn tham khảo các bài công thức tổ hợp, chỉnh hợp, tập hợp số nguyên Z là gì và một năm ánh sáng bằng bao nhiêu km trên chuyên mục tin tức của Hoàng Hà Mobile.